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Cosinus et Sinus, avec (+ - * /) Approximer les fonctions trigonométriques cosinus et sinus en utilisant les opérations de base, idéal pour faire tourner des pictures autour de points. Ecrit par Anton_ le 23/06/2013

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❤ 2Tassle AnthonyP PARTIE I : Présentation du problème Prenons un exemple simple qui nous suivra tout au long de ce tutoriel : j'ai nommé, l'horloge. L'horloge, comme chacun le sait, possède des compteurs qui tournent autour du cadran, mais voilà, qui voudrait mémoriser 60 positions différentes X et Y, avec autant de conditions chiantes et répétitives ? personne ! (à part les imbéciles) oui, mais certains iront plutôt mettre des pictures d'aiguilles dans diverses positions, ce qui est plus adapté si on veut des aiguilles dans une horloge (c'est compréhensible) Ici, on va se contenter d'une petite boule qui tourne autour d'un centre on va définir l'angle de rotation de l'horloge en fonction d'une variable "secondes" qui incrémente quand le temps passe. Et le Cos et le Sin seront définis par le modulo 360 de cet angle (on est en degrés, pas en radians...) Les variables cos/sin finales seront comprises entre -1000 et 1000 au lieu de -1 et 1 (c'est mieux pour des valeurs entières) 1 seconde correspond à 1/60e de tour, soit 6°. Sur le cercle trigonométrique, la position 0 de l'horloge correspond à +90° et elle tourne dans le sens - angle_horloge = 90 - 6 * "secondes" soit X = modulo 360 de cet angle. Maintenant, observons les courbes des fonctions Cos et Sin, ça promet d'être passionnant [mode Matheux ON] PARTIE II : Des fonctions complexes... la première fois qu'on voit les courbes de Cos et Sin, on se dit : "tiens, mais ça ressemble à des paraboles qu'on colle les uns après les autres" C'est évidemment une fausse illusion, mais c'est également une bonne piste pour faire des approximations. 1) Un trinôme ? on va décomposer les courbes en morceaux de paraboles entre 0 et 360 : COS : [ (0-90) , maximum en 0 ] , [ (90-270) , minimum en 180 ] , [ (270-360) , maximum en 360 ] SIN : [ (0-180) , maximum en 90 ] , [ (180-360) , minimum en 270 ] Faites roulez les conditions ! exemple : on fait l'approximation de sin entre 0 et 180 : Y = (A) *(X-90)² + 1000 avec A = -10/81 Notez plusieurs choses : La parabole a son maximum en 90, si c'est un minimum, il faut multiplier le tout par -1 On soustrait aussi X de la position du sommet. (super important) le coefficient A est le même pour tous les bouts de trinôme, il faut juste penser à son orientation ! (visualisez vos courbes sur excel si vous n'êtes pas sûrs) Enfin bon, ça, c'est la méthode facile, légère en calcul, et rapide, mais elle a une grande marge d'erreur... on obtient une erreur maximale de 6%, que qui fait un pixel à coté tous les 16.4 pixels de distance. "oouuh remboursez, c'est pas ce qu'il y avait d'écrit sur la description !" Tout juste, voici un polynôme plus précis. 2) Polynôme de Degré 4 Si on soustrait notre "mauvaise" fonction avec la vraie courbe de Cosinus ou Sinus, on voit une sorte de polynôme de Degré 4. On modifie alors la fonction principale : Y = A*(X-sommet) ^ 4 + B*(X-sommet) ^ 2 + 1000 j'ai tâtonné pendant des heures pour trouver les meilleurs coefficients, les voici ! A = (1/540)² B = (7/18)² N'oubliez pas l'orientation du polynôme !! (Si le sommet est en bas, multipliez tout par -1) Et voilà, notre fonction est-elle prête à l'emploi ? NON ! Le terme en X^4 est à manipuler avec précaution ! comme vous le voyez, (X-sommet) est toujours compris entre -90 et 90 Seulement voilà, 90^4 = 65 610 000 nombre trop grand pour être intégré à une variable RMesque, dont la limite est de 9 999 999 Il faut donc appliquer DANS L'ORDRE : Terme_en_X4 = (X-sommet)^3 /36 *(X-sommet) /8100 et voilà, plus de problèmes. On observe la marge d'erreur par rapport aux vraies courbes ... 0.2% !! Soit 1 pixel de raté tous les 500 pixels ! Sur une résolution de 640x480, qui pourra faire la différence ? 3) résultats Nous avons donc en entrée la variable "angle" réservez 5 ou 6 variables pour le calcul intermédiaire Et 2 variables sont en Sortie, COS et SIN. 4) Le code svp ! Voici le code ligne par ligne (simplifié pour une meilleure lecture) INPUT : Angle, n'importe quel nombre entier, sera tranformé en un nombre entre 0 et 360 selon le modulo 360 du nombre initial. L'angle suit le cercle trigonométrique : donc 0 c'est à l'Est, 90 au Nord, 180 à l'Ouest, et 270 au sud. OUTPUT : outputCos, et outputSin, entre -1000 et +1000. représentent au mieux le cos et le sin de l'angle d'input donné en entrée. Portion de code : Tout sélectionner 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82   Angle %= 360 If : Angle < 0    Angle += 360   End If // set sommet/signe of parabole for COS If : Angle < 90     sommet = 0     signe = 1    Else   If : Angle < 270       sommet = 180       signe = -1        Else       sommet = 360       signe = 1       End If End If   // GET Y of Parabole // get x   x = Angle   x -= sommet // get x^4 with the positive coeff (warning, 90^4 overflows)   x4 = x   x4 *= x   x4 *= x   x4 /= 36   x4 *= x   x4 /= 8100 // get x² with the negative coeff   x2 = x   x2 *= x   x2 *= 49   x2 /= 324 // add up everything   x = x4   x -= x2   x += 1000 // apply sign   x *= signe // tadam ! outputCos = x   // set sommet/signe of parabole for SIN If : Angle < 180     sommet = 90     signe = 1    Else     sommet = 270     signe = -1   End If // GET Y of Parabole (same stuff) // get x   x = Angle   x -= sommet // get x^4 with the positive coeff (warning, 90^4 overflows)   x4 = x   x4 *= x   x4 *= x   x4 /= 36   x4 *= x   x4 /= 8100 // get x² with the negative coeff   x2 = x   x2 *= x   x2 *= 49   x2 /= 324 // add up everything   x = x4   x -= x2   x += 1000 // apply sign   x *= signe // tadam ! outputSin = x PARTIE III : Applications Nous avons donc COS et SIN , deux variables comprises entre -1000 et 1000 "C'est bien beau tout ça, mais comment on s'en sert ?" C'est simple ... Il faut encore des variables ! Reprenons notre horloge : Elle tourne dans un coin de l'écran. On définit son centre de rotation en un point dont on choisit les coordonnées : Cx et Cy Il faut aussi la distance par rapport au centre : le rayon, R. la position de la petite boule qui tourne autour est donc X_final = Cx + (COS * R)/1000 Y_final = Cy + (SIN * R)/1000 Pourquoi je divise par 1000 ? C'est dans le but de définir COS et SIN entre -1 et 1 (appliquez la multiplication avant la division par 1000 !) Et voilà, amusez vous bien ! BONUS : vous pouvez faire varier les entrées !! Cx , Cy , R , angle , vitesse d'avance de l'angle Mis à jour le 30 septembre 2020. Autres articles similaires : - Tassle, "Cosinus et Sinus, avec */+", Oniromancie, le 30 septembre 2020, https://www.rpg-maker.fr/index.php?page=tutos&id=499

verehn - posté le 23/06/2013 à 19:07:04 (9056 messages postés) - - ❤ 0
Vhehrhehn	J'ai mis quelques passages en couleur, Anton. Si tu n'aimes pas je les enlèverai
Eldrao ~ PakuPaku ~ Winged Light ~ Ruin ~ Ma galerie ~ LTDAD ~ Don de graphismes plateforme 2D

Anton_ - posté le 23/06/2013 à 19:23:06 (1522 messages postés) ❤ 0
	c'est impeccable, on fait super bien la différence avec ce qui est calcul et ce qui n'en est pas edit importante : Dans RM 2003 (et les autres, peut être), le modulo d'un nombre négatif donne un résultat négatif. (pourquoi ? je ne sais pas) Alors qu'ici dans la fonction utilisée après, il nous faut un nombre entre 0 et 360. Il faut rajouter ces deux lignes suivantes après X = Angle modulo 360 Si X < 0 { X ajouter 360 }
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Joke - posté le 23/06/2013 à 19:34:10 (5089 messages postés) ❤ 1AnthonyP
Bilouteux fou	Tutoriel très intéressant, ça veut dire qu'on peut faire de faux cosinus et faux sinus sous RM2003, et donc faire parcourir des coordonnées sur des cercles ou ellipses... Cool : )
biloumaster.fr, mon joli site ouèb tout bô tout frai !

Grade - posté le 23/06/2013 à 20:36:26 (905 messages postés) ❤ 0
	Sympa ! Je m'en souvienderai définitivement la prochaine fois que je fais un projet RPG Maker. Ça me donne envie d'écrire des tutos sur l'algorithmique ça.
MMORPG 2D Amateur | http://www.shinsekaionline.com

Maelstorm - posté le 23/06/2013 à 22:31:29 (3982 messages postés) ❤ 0
Une chance sur un million	Citation: la première fois qu'on voit les courbes de Cos et Sin, on se dit : "tiens, mais ça ressemble à des paraboles qu'on colle les uns après les autres" euh ... ouais ? peut etre un peut abrupt pour les néophytes ton tuto ...

Ixsuixwzone - posté le 24/06/2013 à 10:26:45 (2453 messages postés) ❤ 0
	Hey ! Mais c'est carrément utile ça 0.o Merci Anton, c'est bien pensé. Ça risque de me servir plus tard.
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Anton_ - posté le 27/09/2013 à 11:51:39 (1522 messages postés) ❤ 0
	Je signale un détail sur l'angle et son modulo (oui oui, trois mois après !! ) Dans RM 2003 (et les autres, peut être), le modulo d'un nombre négatif donne un résultat négatif. (pourquoi ? je ne sais pas) Alors qu'ici dans la fonction utilisée après, il nous faut un nombre entre 0 et 360. Il faut rajouter ces deux lignes suivantes après X = Angle modulo 360 Si X < 0 { X ajouter 360 }
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Anton_ - posté le 14/07/2017 à 02:40:53 (1522 messages postés) ❤ 1Nemau
	Je suis revenu ici pour réutiliser dans un projet le cos et le sin. Et quelle fut ma surprise de voir que ce tuto est TRES MAL EXPLIQUE SCROGNEUGNEU !! Donc pour me faire pardonner, voici le code ligne par ligne (simplifié pour une meilleure lecture) INPUT : Angle, n'importe quel nombre entier, sera tranformé en un nombre entre 0 et 360 selon le modulo 360 du nombre initial. L'angle suit le cercle trigonométrique : donc 0 c'est à l'Est, 90 au Nord, 180 à l'Ouest, et 270 au sud. OUTPUT : outputCos, et outputSin, entre -1000 et +1000. représentent au mieux le cos et le sin de l'angle d'input donné en entrée. Bon copinage. Portion de code : Tout sélectionner 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83   Angle %= 360 If : Angle < 0    Angle += 360   End If // set sommet/signe of parabole for COS If : Angle < 90     sommet = 0     signe = 1    Else   If : Angle < 270       sommet = 180       signe = -1        Else       sommet = 360       signe = 1       End If End If   // GET Y of Parabole // get x   x = Angle   x -= sommet // get x^4 with the positive coeff (warning, 90^4 overflows)   x4 = x   x4 *= x   x4 *= x   x4 /= 36   x4 *= x   x4 /= 8100 // get x² with the negative coeff   x2 = x   x2 *= x   x2 *= 49   x2 /= 324 // add up everything   x = x4   x -= x2   x += 1000 // apply sign   x *= signe // tadam ! outputCos = x   // set sommet/signe of parabole for SIN If : Angle < 180     sommet = 90     signe = 1    Else     sommet = 270     signe = -1   End If // GET Y of Parabole (same stuff) // get x   x = Angle   x -= sommet // get x^4 with the positive coeff (warning, 90^4 overflows)   x4 = x   x4 *= x   x4 *= x   x4 /= 36   x4 *= x   x4 /= 8100 // get x² with the negative coeff   x2 = x   x2 *= x   x2 *= 49   x2 /= 324 // add up everything   x = x4   x -= x2   x += 1000 // apply sign   x *= signe // tadam ! outputSin = x
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Tassle - posté le 01/12/2021 à 17:18:07 (5234 messages postés) ❤ 2Nemau Roi of the Suisse
Disciple de Pythagolf	J'ai expérimenté un peu et j'ai trouvé une meilleure méthode: Spoiler (cliquez pour afficher) Portion de code : Tout sélectionner 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57   a = Angle IF : a < 0     a *= -1   END IF a %= 360 a -= 180 IF : a < 0     a *= -1   END IF sign = -1 IF : a > 90     sign = 1     a *= -1     a += 180   END IF a *= a b = 32151 b += a b //= 4 outputCos = 8097 outputCos -= a outputCos *= 994 outputCos //= b outputCos *= sign a = 90 a -= Angle IF : a < 0     a *= -1   END IF a %= 360 a -= 180 IF : a < 0     a *= -1   END IF sign = -1 IF : a > 90     sign = 1     a *= -1     a += 180   END IF a *= a b = 32151 b += a b //= 4 outputSin = 8097 outputSin -= a outputSin *= 994 outputSin //= b outputSin *= sign   La vitesse est exactement la même que pour la méthode d'Anton (si on supprime ses commentaires, parce que oui chaque commentaire coûte quasi autant de temps que tout autre instruction) mais l'erreur max est de 1.35 (au lieu de 1.91 avec la méthode d'Anton). Si a1 et a2 sont des variables d'id consécutives, de même que b1 et b2, sign1 et sign2, outputCos et outputSin, on peut améliorer très légerement la vitesse d'execution en utilisant le fait que RM2k3 permet de modifier plusieurs variables en même temps (ce qui est aussi rapide que de modifier une seule variable): Spoiler (cliquez pour afficher) Portion de code : Tout sélectionner 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51   a1 = Angle a2 = 90 a2 -= Angle IF : a1 < 0     a1 *= -1   END IF IF : a2 < 0     a2 *= -1   END IF   a1, a2 %= 360 a1, a2 -= 180 IF : a1 < 0     a1 *= -1   END IF IF : a2 < 0     a2 *= -1   END IF sign1, sign2 = -1 IF : a1 > 90     sign1 = 1     a1 *= -1     a1 += 180   END IF IF : a2 > 90     sign2 = 1     a2 *= -1     a2 += 180   END IF a1 *= a1 a2 *= a2 b1, b2 = 32151 b1 += a1 b2 += a2 b1, b2 //= 4 outputCos, outputSin = 8097 outputCos -= a1 outputSin -= a2 outputCos, outputSin *= 994 outputCos //= b1 outputSin //= b2 outputCos *= sign1 outputSin *= sign2   (ce code est environ 11% plus rapide que le précédent, mais on utilise plus de variables différentes) Edit: Pour ceux que ça intéresse, j'utilise une approximation par une fonction rationnelle plutôt que polynomiale. En gros cos(x) ~ 994*(8097-x^2)/((32151+x^2)/4) pour x entre -90 et 90 (avec des divisions entières). On pourrait enlever le /4 et remplacer 994 par 4*994 (= 3976) mais après les valeurs des variables pourraient dépasser le max de RM2k3.
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